Tìm kiếm cây khung nhỏ nhất (Prim)

Dẫn nhập

Trong những bài học trước, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu rất nhiều các thuật toán liên quan đến đồ thị. Trong bài học này, mình sẽ tiếp tục giới thiệu đến các bạn một thuật toán thú vị về đồ thị.

Nội dung

Để có thể tiếp thu bài học này một cách tốt nhất, các bạn nên có những kiến thức cơ bản về:

• Các kiến thức cần thiết để theo dõi khóa học
• Đồ thị và cây
• BFS và DFS
• Priority Queue

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về:

• Thuật toán Prim

Bài toán đặt ra

Ta có một bài toán như sau:

Một quốc gia có  thành phố được đánh số từ 1 đến . Hiện tại, chính phủ đang muốn xây dựng các tuyến đường sao cho từ một thành phố có thể di chuyển đến tất cả các thành phố khác. Qua quá trình khảo sát, chính phủ nhận thấy có  tuyến đường giữa hai thành phố  và  có thể xây dựng với chi phí là . Nhiệm vụ của bạn là tính toán chi phí nhỏ nhất để xây dựng các tuyến đường với yêu cầu như trên.

Input:

• Dòng 1: 2 số nguyên dương  lần lượt thể hiện số thành phố và số tuyến đường có thể xây dựng
• Dòng 2…m+1: Mỗi dòng gồm ba số nguyên dương  trong đó  thể hiện cho 2 thành phố có thể xây đường kết nối,  thể hiện cho chi phí xây tuyến đường đó

Output:

• Một số nguyên duy nhất là chi phí để xây dựng các tuyến đường sao cho từ một thành phố có thể di chuyển đến tất cả các thành phố khác

Ví dụ:

Giải thích ví dụ

Đây là hình ảnh minh hoạ cho ví dụ ở trên với các con đường có thể xây dựng

Đây là các con đường được lựa chọn (màu cam)

Một số khái niệm

 Để có thể giải quyết bài toán trên, ta sẽ phải làm quen với một số khái niệm mới như sau:

• Cây khung là một tập các cạnh sao cho tập cạnh này không tồn tại chu trình và liên thông
• Cây khung nhỏ nhất là cây khung mà tổng trọng số các cạnh thuộc cây khung là nhỏ nhất

Ví dụ:

Ta có thể nhận thấy ngay với ví dụ ở trên, nếu coi mỗi thành phố là một đỉnh, mỗi con đường có thể xây dựng là một cạnh thì tập các con đường cần xây dựng sẽ tạo thành một cây khung nhỏ nhất. Vậy thì làm sao để có thể tìm ra một cây khung nhỏ nhất?

Thuật toán Prim

Ý tưởng

Ý tưởng xây dựng thuật toán Prim khá giống với ý tưởng của thuật toán Dijkstra: Tại mỗi bước, ta sẽ thêm một đỉnh vào cây khung thoả mãn đỉnh đó chưa được chọn vào cây khung và khoảng cách từ nó đến một đỉnh đã được chọn là nhỏ nhất.

Cách cài đặt

Để có thể cài đặt thuật toán Prim, ta sẽ cần 2 mảng

• dist[] với ý nghĩa dist[u] là khoảng cách nhỏ nhất từ một đỉnh đã được chọn vào cây khung đến đỉnh u.
• mark[] với ý nghĩa mark[u] = true nghĩa là đỉnh u đã được chọn vào cây khung

Thuật toán diễn ra như sau:

• Khởi tạo mảng dist[]. Ban đầu, tất cả các phần tử trong mảng có giá trị +∞
• Ta sẽ chọn một đỉnh u làm đỉnh gốc của cây khung. Khi này, dist[u] = 0
• Tại mỗi lần chọn đỉnh thêm vào cây khung, ta sẽ luôn ưu tiên lấy các đỉnh u mà dist[u] nhỏ nhất. Ta đánh dấu mark[u] = true. Từ đỉnh u được chọn ở trên, ta sẽ cập nhật lại dist[v] với các đỉnh v có cạnh nối từ u
• Tương tự với thuật toán Dijkstra, để lấy ra đỉnh u có dist[u] nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng priority_queue lưu trữ pair<long long, int> trong đó giá trị first là dist[u], giá trị second là u.
• Quá trình chọn đỉnh trên sẽ kết thúc khi ta chọn đủ n đỉnh vào cây khung

Để dễ hình dung, ta sẽ đi qua một ví dụ sau.

Ta có đồ thị như sau:

• Ban đầu, dist = [+∞, +∞, +∞, +∞] và mark = [0, 0, 0, 0] (0 là false, 1 là true), tổng trọng số res = 0
• Ta chọn đỉnh gốc là đỉnh 1 (đỉnh này có thể là đỉnh bất kì). Gán dist[1] = 0
• Khi này, dist = [0, +∞, +∞, +∞] và mark = [0, 0, 0, 0]
• Ta chọn đỉnh u = 1 do dist[1] nhỏ nhất và mark[1] = 0. Tăng giá trị biến res lên một lượng dist[1] và đánh dấu mark[1] = 1. Xét các đỉnh v có cạnh nối từ u:
  • Với v = 2, ta thấy độ dài cạnh (1,2) < dist[2] nên ta cập nhật dist[2] = độ dài cạnh (1,2) = 2
  • Với v = 3, ta thấy độ dài cạnh (1,3) < dist[3] nên ta cập nhật dist[3] = độ dài cạnh (1,3) = 6
  • Với v = 4, ta thấy độ dài cạnh (1,4) < dist[4] nên ta cập nhật dist[4] = độ dài cạnh (1,4) = 1
• Khi này, dist = [0, 2, 6, 1], mark = [1, 0, 0, 0], res = 0
• Ta chọn đỉnh u = 4 do dist[4] nhỏ nhất và mark[4] = 0. Tăng giá trị biến res lên một lượng dist[4] và đánh dấu mark[4] = 1. Xét các đỉnh v có cạnh nối từ u:
  • Với v = 2, ta thấy độ dài cạnh (4,2) > dist[2] nên ta không cập nhật dist[2]
  • Với v = 3, ta thấy độ dài cạnh (4,3) < dist[3] nên ta cập nhật dist[3] = độ dài cạnh (4,3) = 3
  • Với v = 1, ta thấy độ dài cạnh (4,1) > dist[1] nên ta không cập nhật dist[1]
• Khi này, dist = [0, 2, 3, 1] và mark = [1, 0, 0, 1], res = 1
• Ta chọn đỉnh u = 2 do dist[2] nhỏ nhất và mark[2] = 0. Tăng giá trị biến res lên một lượng dist[2] và đánh dấu mark[2] = 1. Xét các đỉnh v có cạnh nối từ u:
  • Với v = 4, ta thấy độ dài cạnh (2,4) > dist[4] nên ta không cập nhật dist[4]
  • Với v = 1, ta thấy độ dài cạnh (2,1) > dist[1] nên ta không cập nhật dist[1]
• Khi này, dist = [0, 2, 3, 1] và mark = [1, 1, 0, 1], res = 3
• Ta chọn đỉnh u = 3 do dist[3] nhỏ nhất và mark[3] = 0. Tăng giá trị biến res lên một lượng dist[3] và đánh dấu mark[3] = 1. Xét các đỉnh v có cạnh nối từ u:
  • Với v = 4, ta thấy độ dài cạnh (3,4) > dist[4] nên ta không cập nhật dist[4]
  • Với v = 1, ta thấy độ dài cạnh (3,1) > dist[1] nên ta không cập nhật dist[1]
• Khi này, dist = [0, 2, 3, 1] và mark = [1, 1, 1, 1], res = 6. Do tất cả các đỉnh đã được đánh dấu (tất cả đã thuộc cây khung) nên kết thúc chương trình tại đây.

Lưu ý: Để có thể khẳng định thuật toán Prim đúng thì ta sẽ cần phải chứng minh. Tuy nhiên trong khuôn khổ bài học này mình xin phép không đề cập đến việc chứng minh. Ta sẽ công nhận thuật toán trên là chính xác.

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> ii;

const int MaxN = 1 + 1e5;
const ll INF = 1e18;

int n, m;
ll dist[MaxN];
bool mark[MaxN];
vector<ii> adj[MaxN];

int Prim(int s) {
    ll res = 0;
    memset(mark, 0, sizeof mark);
    fill(dist + 1, dist + n + 1, INF);
    priority_queue<ii, vector<ii>, greater<ii> > pq;
    dist[s] = 0;
    pq.push(ii(0, s));
    while(!pq.empty()){
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();
        if(mark[u]) continue;
        mark[u] = true;
        res += dist[u];
        for(ii v : adj[u])
        if(v.second < dist[v.first]){
            dist[v.first] = v.second;
            pq.push(ii(dist[v.first], v.first));
        }
    }
    return res;
}

int main(){
    freopen("CTDL.inp","r",stdin);
    freopen("CTDL.out","w",stdout);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0 ; i < m ; ++i){
        int u, v, k;
        cin >> u >> v >> k;
        adj[u].push_back(ii(v, k));
        adj[v].push_back(ii(u, k));
    }
    cout << Prim(1) << endl;

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51

Độ phức tạp

Ta thấy, ta sẽ phải chọn ra  đỉnh để đưa vào cây khung, mỗi lần lấy ra sẽ mất . Tại  lần lấy ra này, ta phải duyệt qua  cạnh để cập nhật , mỗi lần cập nhật mất . Do đó, tổng độ phức tạp là

Kết luận

Qua bài này chúng ta đã nắm về Tìm kiếm cây khung nhỏ nhất với thuật toán Prim

Bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu về Tìm kiếm cây khung nhỏ nhất với thuật toán Kruskal

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”

---

Tải xuống

Tài liệu

Nhằm phục vụ mục đích học tập Offline của cộng đồng, Kteam hỗ trợ tính năng lưu trữ nội dung bài học Tìm kiếm cây khung nhỏ nhất (Prim) dưới dạng file PDF trong link bên dưới.

Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm thấy các tài liệu được đóng góp từ cộng đồng ở mục TÀI LIỆU trên thư viện Howkteam.com

Đừng quên like và share để ủng hộ Kteam và tác giả nhé!

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần BÌNH LUẬN bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.

CỘNG ĐỒNG HỎI ĐÁP HOWKTEAM.COM

GROUP THẢO LUẬN FACEBOOK