Fenwick Tree

Dẫn nhập

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu về một cấu trúc dữ liệu khá tương tự với Segment Tree đó là Fenwick Tree. Hãy cùng tìm hiểu xem Fenwick Tree là gì nhé!

Nội dung

Để có thể tiếp thu bài học này một cách tốt nhất, các bạn nên có những kiến thức cơ bản về:

• Các kiến thức cần thiết để theo dõi khóa học
• Hai con trỏ
• Đồ thị và cây
• Segment Tree

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về:

• Fenwick Tree
• So sánh Segment Tree và Fenwick Tree

Bài toán đặt ra

Cho một dãy gồm  số nguyên . Có  truy vấn thuộc 1 trong 2 dạng sau:

• U x y: Tăng giá trị của  thêm một giá trị
• Q u v: In ra tổng các số trong đoạn

Ví dụ:

Giải thích ví dụ:

Ví dụ trên gồm có 6 truy vấn trong đó:

• Truy vấn 1 yêu cầu tổng các phần tử trong đoạn  gồm các phần tử . Do đó, tổng các phần tử trong đoạn này là 25. Ta in ra 25.
• Truy vấn 2 tăng phần tử  thêm 1. Khi này, dãy đã cho trở thành .
• Truy vấn 3 yêu cầu in ra tổng các phần tử trong đoạn  gồm các phần tử . Do đó, tổng các phần tử trong đoạn này là 26. Ta in ra 26.
• Truy vấn 4 và 5 tăng giá trị của phần tử  thêm 4 và  thêm -9. Khi này, dãy đã cho trở thành .
• Truy vấn 6 yêu cầu in ra tổng các phần tử trong đoạn  gồm các phần tử . Do đó, tổng các phần tử trong đoạn này là 13.

Lời giải ban đầu

Ở bài học trước, mình đã giới thiệu cho các bạn về Segment Tree. Các bạn hãy thử tạm dừng tại đây và giải bài toán này bằng Segment Tree nhé. Đây coi như là một thử thách nhỏ cho các bạn.

Các bạn tham khảo cách giải bằng Segment Tree của mình như sau:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MaxN = 1 + 1e5;

int n, a[MaxN];

class SegmentTree{

    int low[4 * MaxN], high[4 * MaxN], TNode[4 * MaxN], leaf[MaxN], qi, qj;

    int Find(int index){
        if(qi > high[index] || qj < low[index]) return 0;
        if(qi <= low[index] && high[index] <= qj) return TNode[index];
        return Find(index * 2) + Find(index * 2 + 1);
    }

    public:
        void Build(int index, int l, int r){
            low[index] = l;
            high[index] = r;
            if(l == r){
                TNode[index] = a[l];
                leaf[l] = index;
                return;
            }
            Build(index * 2, l, (l + r) / 2);
            Build(index * 2 + 1, (l + r) / 2 + 1, r);
            TNode[index] = TNode[index * 2] + TNode[index * 2 + 1];
        } 

        int Query(int l, int r){
            qi = l;
            qj = r;
            return Find(1);
        }

        void Update(int index, int val){
            int pos = leaf[index];
            TNode[pos] += val;
            for(pos /= 2; pos > 0 ; pos /= 2) TNode[pos] = TNode[pos * 2] + TNode[pos * 2 + 1];
        }

} seg;

int main(){
    freopen("CTDL.inp","r",stdin);
    freopen("CTDL.out","w",stdout);
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) cin >> a[i];
    seg.Build(1, 1, n);
    int q;
    cin >> q;
    while(q--){
        char query;
        int x, y;
        cin >> query >> x >> y;
        if(query == 'U') seg.Update(x, y);
        else cout << seg.Query(x, y) << endl;
    }

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64

Phương pháp mới

Ta thấy để có thể cài đặt một Segment Tree như ở trên là tương đối tốn thời gian. Thế thì liệu có cách làm nào ngắn gọn hơn không?

Ở bài hai con trỏ, các bạn đã biết ta có thể tính tổng một đoạn bằng kĩ thuật tổng tiền tố. Ta sẽ áp dụng ý tưởng đó ở đây nhưng do có truy vấn cập nhật nên ta sẽ nghĩ cách để tối ưu hoá quá trình cập nhật và truy vấn.

Ta thấy, mọi số nguyên đều có thể biểu diễn được dưới dạng nhị phân, điều này cũng có nghĩa là mọi số nguyên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng các luỹ thừa của 2. Do đó, khi tính tổng các phần tử đoạn  ta có thể chia nhỏ thành tính tổng các đoạn có độ dài  rồi cộng lại.

Cụ thể, ta phân tích n thành . Muốn tính tổng các phần tử đoạn , ta sẽ tính tổng các phần tử trong các đoạn  rồi cộng chúng lại.

Ví dụ:

Với , ta tính tổng các đoạn .

Với , ta tính tổng các đoạn  và .

Với , ta tính tổng các đoạn ,  và .

Cách cài đặt

Đối với Fenwick Tree, để có thể minh hoạ bằng hình ảnh để các bạn có thể thật sự hiểu những gì sẽ xảy ra là khá phức tạp và thậm chí còn khó hiểu. Do đó, các bạn nên tập trung vào ứng dụng của Fenwick Tree nhiều hơn. Riêng về phần code thì các bạn nên học thuộc do code Fenwick Tree tương đối ngắn và về cơ bản nó là giống nhau cho tất cả các bài.

Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu đi vào phần code.

Mặc dù là cây nhưng ta có thể biểu diễn Fenwick Tree bằng một mảng fen[MaxN] có kích thước bằng độ dài đoạn mà ta quản lí.

Hàm Query()

Query() là một hàm dùng để truy vấn nhận vào một tham số i thể hiện yêu cầu tính tổng các số trong đoạn  .

Để tìm tổng các phần tử trong đoạn  ta sẽ lần lượt đi qua tất cả bit của i theo giá trị tăng dần. Mỗi lần đi qua i, ta sẽ cộng fen[i] vào kết quả hiện tại, rồi trừ đi bit nhỏ nhất của i khỏi chính nó. Quá trình lặp lại cho đến khi .

Để lấy bit nhỏ nhất của i thì ta dùng công thức i & (-i).

Cụ thể code của chúng ta sẽ như sau:

ll Query(int i) {
    ll sum = 0;
    for(; i > 0 ; i -= i & -i) sum += fen[i];
    return sum;
}
1
2
3
4
5
6

Hàm Update()

Update() là một hàm void dùng để cập nhật nhận vào hai tham số:

• i : vị trí phần tử cần cập nhật
• val : giá trị cần tăng

Để cập nhật phần tử tại vị trí i, ta sẽ thực hiện quá trình ngược lại so với khi truy vấn tìm tổng: cộng bit nhỏ nhất vào i cho đến khi i vượt quá khoảng cần truy vấn.

Cụ thể code của chúng ta sẽ như sau:

void Update(int i, int val){
    for(; i <= MaxN ; i += i & -i) fen[i] += val;
}
1
2
3
4

Code

Đầy đủ lời giải cho bài toán ban đầu của chúng ta như sau:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MaxN = 1 + 1e5;

int n, q;

ll fen[MaxN];

ll Query(int i) {
    ll sum = 0;
    for(; i > 0 ; i -= i & -i) sum += fen[i];
    return sum;
}

void Update(int i, int val){
    for(; i <= MaxN ; i += i & -i) fen[i] += val;
}

int main(){
    freopen("CTDL.inp","r",stdin);
    freopen("CTDL.out","w",stdout);
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
        int x;
        cin >> x;
        Update(i,x);
    }
    cin >> q;
    while(q--){
        char query;
        int x, y;
        cin >> query >> x >> y;
        if(query == 'U') Update(x,y);
        else cout << Query(y) - Query(x - 1) << endl;
    }

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

Độ phức tạp

Do các thao tác của chúng ta tiến hành trên các bit của một số nguyên nên độ phức tạp thuật toán sẽ là  .

So sánh Segment Tree và Fenwick Tree

Kết luận

• Qua bài này chúng ta đã nắm được về Fenwick Tree
• Bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu về Trie
• Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

---

Tải xuống

Tài liệu

Nhằm phục vụ mục đích học tập Offline của cộng đồng, Kteam hỗ trợ tính năng lưu trữ nội dung bài học Fenwick Tree dưới dạng file PDF trong link bên dưới.

Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm thấy các tài liệu được đóng góp từ cộng đồng ở mục TÀI LIỆU trên thư viện Howkteam.com

Đừng quên like và share để ủng hộ Kteam và tác giả nhé!

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần BÌNH LUẬN bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.

CỘNG ĐỒNG HỎI ĐÁP HOWKTEAM.COM

GROUP THẢO LUẬN FACEBOOK